Vés al contingut

Equacions de Friedmann

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

Les equacions de Friedmann són un conjunt d'equacions en cosmologia física que governen l'expansió mètrica de l'espai en models homogenis i isòtrops de l'Univers dins del context de la teoria de la relativitat general. Van ser descobertes per Alexander Friedmann el 1922[1] a partir de les equacions de camp d'Einstein per a la mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker i un fluid amb una densitat d'energia () i una pressió () determinada.

Les equacions

[modifica]

Les equacions són:

  • és la constant cosmològica possiblement causada per l'energia del buit
  • és la constant de gravitació
  • és la velocitat de la llum
  • és el factor d'escala de l'Univers
  • és la curvatura gaussiana quan (per exemple, avui).

Si la forma de l'univers és hiperesfèrica i és el radi de curvatura ( en el moment actual), llavors . Generalment, és la curvatura gaussiana. Si és positiva, llavors l'Univers és hiperesfèric. Si és zero, l'Univers és pla i si és negatiu l'Univers és hiperbòlic. A més, i són funció de . El paràmetre de Hubble, , és la velocitat d'expansió de l'univers.

Aquestes equacions de vegades se simplifiquen redefinint la densitat d'energia i la pressió:

per a obtenir:

El paràmetre de Hubble pot canviar en el temps si altres elements de l'equació són dependents del temps, en particular la densitat d'energia, l'energia del buit i la curvatura. Avaluant el paràmetre de Hubble en el moment actual surt que la constant de Hubble és la constant de proporcionalitat de la llei de Hubble. Si s'aplica a un fluid amb una equació d'estat determinada, les equacions de Friedmann donen com a resultat l'evolució en el temps i la geometria de l'Univers com a funció de la densitat del fluid.

Alguns cosmòlegs anomenen la segona d'aquestes dues equacions l'equació d'acceleració i es reserven el terme equació de Friedmann només per a la primera equació.

El paràmetre de densitat

[modifica]

El paràmetre de densitat, , es defineix com la relació de la densitat actual, o observada, respecte a la densitat crítica de l'Univers de Friedmann. Una expressió per a la densitat crítica es troba assumint que és zero, com ho és per a tots els universos de Friedmann bàsics, i establint la curvatura igual a zero. Quan se substitueixen aquests paràmetres a la primera equació de Friedmann trobem que:

I l'expressió per al paràmetre de densitat, útil per a comparar diferents models cosmològics, és:

Aquest terme originalment va ser utilitzat com una manera de determinar la geometria del camp en el qual és la densitat crítica per a la qual la geometria és plana. Assumint una densitat d'energia del buit nul·la, si és més gran que un, la geometria és tancada i l'Univers eventualment pararà la seva expansió i llavors es col·lapsarà. Si és menor que u, serà obert i l'Univers s'expandirà per sempre. Tanmateix, també es poden sintetitzar els termes de curvatura i de l'energia del buit en una expressió més general per a en el cas que aquest paràmetre de densitat d'energia sigui exactemente igual a la unitat. Llavors és una qüestió de mesurar els diferents components, normalment designats per subíndexs. D'acord amb el model Lambda-CDM, hi ha importants components de a causa de barions, matèria fosca freda i energia fosca. La geometria de l'espaitemps va ser mesurada pel satèl·lit WMAP estant a prop de ser una geometria plana, és a dir, el paràmetre de curvatura és aproximadament zero.

La primera Equació de Friedmann sovint s'escriu formalment amb els paràmetres de densitat.

  • és la densitat de radiació actual;
  • és la densitat de matèria actual (la fosca més la bariònica);
  • és la constant cosmològica o la densitat de buit actual.

Els valors acceptats en l'actualitat per a aquests paràmetres són de 0,002 per a la densitat de radiació, 0,29±0,03 per a la densitat de matèria fosca i bariònica en l'actualitat, i de 0,71±0,03 per la densitat de l'energía del buit.

Equació de Friedmann reescalada

[modifica]

Establint que on a_0 i H_0 són separadament el factor d'escala i el paràmetre de Hubble actuals. Llavors podem trobar que:

on . Per a qualsevol forma del potencial efectiu , hi ha una equació d'estat que la produirà.

Referències

[modifica]
  1. Friedmann, A: "Über die Krümmung des Raumes", Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Traducció a l'anglès a Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.)